Question

如图，已知过点（

3

2

，-

7

4

）的直线y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A、B，且经过第一、三、四象限，它与抛物线y=x²-4x+3只有一个公共点．
（1）求k的值；
（2）设抛物线的顶点为P，求点P到直线AB的距离d．

Answer 1

分析：（1）由于点（

3

2

，一

7

4

）在直线y=kx+b上，则此点坐标满足该一次函数解析式，将其代入即可求出k、b的关系式；用k代替b后，联立抛物线的解析式，可得关于x的一元二次方程，由于两个函数只有一个公共点，那么方程的根的判别式△=0，可据此求出k的值．
（2）根据k的值，可确定直线的解析式，进而可求出A、B的坐标，也就能得到△OAB的面积；可连接OP、AP、BP，将△AOB分成△OPA、△OPB、△APB三部分，P点坐标易求得，即可得到△OPA和△OPB的面积，用d表示出△APB的面积，根据上面所得四个三角形的面积关系式，即可求出d的值．

解答：解：（1）∵直线过点（

3

2

，-

7

4

），
∴-

7

4

=

3

2

k+b，
即b=-

7

4

-

3

2

k；
∴y=kx-

3

2

k-

7

4

，
由

y=kx- 3 2 k- 7 4 y=x2-4x+3

消去y，得：
x²-（4+k）x+（

3

2

k+

19

4

）=0，
∵直线与抛物线只有一个公共点，
∴△=（4+k）²-4（

3

2

k+

19

4

）=0，
解得：k=1或k=-3；
∵直线过第一、三、四象限，
∴k＞0，
即k=1．

（2）由k=1，知直线AB的解析式为y=x-

13

4

；
令y=0，得x=

13

4

；
令x=0，得y=-

13

4

；
∴A（

13

4

，0），B（0，-

13

4

），
∴AB=

OA2+OB2

=

13 2

4

；
连接PO、PA、PB，易知抛物线顶点P（2，-1），
由S_△APO+S_△BPO+S_△APB=S_△ABO，得：

1

2

OA•1+

1

2

OB•2+

1

2

AB•d=

1

2

OA•OB，
∴d=

OA•OB-OA-2OB

AB

=

2

8

，
∴点P到直线AB的距离为

2

8

．

点评：此题考查了函数图象交点、根的判别式以及图形面积的求法等，难度适中．