Question

割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=

1

4

(x-4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（　　）

• A、5
• B、

  22

  5

• C、4
• D、17-4π

Answer 1

分析：设该二次函数与坐标轴的交点分别为A、B，连接AB，可作直线l∥AB，当直线l与该抛物线只有一个交点时，可设直线l与坐标轴的交点为C、D，求出△OCD的面积即为抛物线图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积．

解答：解：如图，设抛物线与坐标轴的交点为A、B，则有：
A（4，0），B（0，4）；
作直线l∥AB，易求得直线AB：y=-x+4，
所以设直线l：y=-x+h，当直线l与抛物线只有一个交点（相切）时，有：
-x+h=

1

4

（x-4）²，
整理得：

1

4

x²-x+4-h=0，
△=1-4×

1

4

（4-h）=0，即h=3；
所以直线l：y=-x+3；
设直线l与坐标轴的交点为C、D，则C（3，0）、D（0，3），
因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于S_△OCD小于S_△OAB
S_△OCD=

1

2

×3×3=4.5． S_△OAB=

1

2

×4×4=8，
故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5＜S＜8的范围内，选项中符合的只有A，
故选A．

点评：此题考查的是函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，难度适中．