Question

18、已知x₁、x₂为方程x²+3x+1=0的两实根，则x₁³+8x₂+20=

-1

．

Answer 1

分析：由于x₁、x₂是方程的两根，根据根与系数的关系可得到两根之和的值，根据方程解的定义可得到x₁²、x₁的关系，根据上面得到的条件，对所求的代数式进行有针对性的拆分和化简，然后再代值计算．

解答：解：∵x₁、x₂为方程x²+3x+1=0的两实根，
∴x₁²=-3x₁-1，x₁+x₂=-3；
∴x₁³+8x₂+20=（-3x₁-1）x₁+8x₂+20
=-3x₁²-x₁+8x₂+20
=-3（-3x₁-1）-x₁+8x₂+20
=9x₁-x₁+8x₂+23
=8（x₁+x₂）+23
=-24+23
=-1．
故x₁³+8x₂+20=-1．

点评：此题是典型的代数求值问题，涉及到根与系数的关系以及方程解的定义．在解此类题时，如果所求代数式无法化简，应该从已知入手看能得到什么条件，然后根据得到的条件对所求代数式进行有针对性的化简和变形．