Question

（2008•西藏）已知：如图，AB是⊙O的直径．OD⊥AB．交⊙O于点F，点C是⊙O上一点，连接OC、AC、BC．AC的延长线交OD于点D，BC交OD于点E．
（1）证明：∠OCE=∠ODC；
（2）证明：OC²=OE•OD；
（3）如果点C在

AF

上运动（与点A、点F不重合）．当OA=2时，△AOD面积用y表示，设OE=x，写出面积y与x的函数表达式，并确定自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据圆的半径相等可得OA=OC，再根据等边对等角求出∠A=∠ACO，然后利用等角的余角相等求解即可；
（2）先求出△OCE和△ODC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（3）根据（2）的结论表示出OD，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解，根据点E在OD上确定x的取值范围即可．

解答：（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCE=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODC+∠A=90°，
∴∠OCE=∠ODC；

（2）证明：∵∠OCE=∠ODC，∠COE=∠DOC，
∴△OCE∽△ODC，
∴

OC

OD

=

OE

OC

，
∴OC²=OE•OD；

（3）解：∵OA=2，
∴OC=2，
又∵OC²=OE•OD，OE=x，
∴2²=x•OD，
∴OD=

4

x

，
∴△AOD的面积y=

1

2

OA•OD=

1

2

×2×

4

x

=

4

x

，
即y=

4

x

，
∵点C在

AF

上运动（与点A、点F不重合），
∴点E在OD上，（与点O、点D不重合），
∴0＜x＜2．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了同一个圆的半径相等，等边对等角的性质，等角的余角相等，相似三角形的判定与性质，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．