Question

如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t=1时，求线段DP的长；
（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；
（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）S=，当时，S最大值=4；（3）和

试题分析：（1）先由题意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出当t=1时，AP、OP的长，最后根据PD⊥y轴，AB⊥y轴，结合平行线分线段成比例即可列比例式求解；
（2）作DE⊥CO于点E，分别用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE的长，再根据三角形的面积公式即可得到S关于t的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得S的最大值；
（3）分和两种情况，结合相似三角形的判定方法讨论即可.
（1）由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
当t=1时，AP=1，则OP=3，
∵PD⊥y轴，AB⊥y轴
∴PD∥AB
∴ 
∴ 
解得DP=；
（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t
作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4–t   
∴S==×2t×(4–t)=   
当时，S最大值=4
（3）分两种情况讨论：
①当时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在）
∵AB∥CO 
∴∠BOC=∠ABO<∠ABC
可证得BO=BC
∴∠BOC=∠BCO>∠BCA
∵AB∥CO
∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC
∴当时，△ODQ与△ABC不可能相似。
②当时，点Q在x轴正半轴上运动，
延长AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ
OQ=，由DP∥AB可得OD=
当时，
 ，在内；
当时，
，在内；
∴存在和，使△ODQ与△ABC相似。
点评：解答本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值的方法：公式法或配方法；同时熟练运用平行线分线段成比例，准确列出比例式解决问题.