Question

如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数；
（3）在（2）的结论下，过点C作CG⊥AD，CF=4，求CG．

Answer 1

分析：（1）求出∠B=∠CAE，AC=AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，根据三角形外角性质推出∠DFC=∠BAC，即可得出答案；
（3）在Rt△CGF中，解直角三角形求出CG即可．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠CAE=∠ACB=60°，AC=AB，
∵在△ABD和△CAE中

AB=AC ∠B=∠CAE BD=AE

∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．


（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠CAE=60°．

（3）解：∵CG⊥AD，
∴∠CGF=90°，
∵∠DFC=60°，CF=4，
∴∠FCG=30°，
∴GF=

1

2

CF=2，
由勾股定理得：CG=2

3

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．