Question

小明家打算建一个苗圃，苗圃的两边靠墙（这两堵墙互相垂直），另外的部分用30米长的篱笆围成．小明的爸爸提出一个问题：怎样围才能使苗圃的面积尽可能地大？小明思考后，设计了以下三种方案：
方案一：围成斜边为30米的等腰直角三角形（如图1）；
方案二：围成边长为15米的正方形（如图2）；
方案三：围成直角梯形，其中∠BCD=120°（如图3）．
解答下列问题：
（1）分别计算方案一、方案二中苗圃的面积S₁，S₂，并比较S₁，S₂的大小；
（2）设方案三中CD的长为x米，苗圃的面积为S₃平方米，求S₃与x之间的函数关系式，并求出S₃的最大值；
（3）请你设计一种方案，使围成的苗圃面积比上述三个方案中的任何一个面积都大．（要求在图4中画出草图，标上必要的数据，并通过计算加以说明）

Answer 1

分析：（1）由三角形和正方形的面积公式求得S₁、S₂的大小；
（2）根据直角梯形面积公式列出函数关系式并求得最大值；
（3）若所围面积最大，则应该围成扇形，并计算证明之．

解答：解：（1）S₁=

1

2

×(30sin45°)2=225 m²，
S₂=15×15=225 m²．

（2）S3=

1

2

×(30-x+30-x+

1

2

x)×x×sin60°
=15

3

x-

3 3

8

x2
=-

3 3

8

(x-20)2+150

3

∴当x=20时，S₃取得最大值，为150

3

．

（3）我的方案是围成一扇形，则计算面积如下：
l=

π

2

×R=30，R=

60

π

S=

1

2

lR=

1

2

×30×

60

π

=

900

π

比较得知，S、S₁、S₂、S₃中，S最大．

点评：本题考查了同学们应用二次函数解决实际问题的能力．