Question

已知：如图，矩形ABCD中AB=4，AD=12，点P是线段AD上的一动点（点P不与点A，D重合），点Q是直线CD上的一点，且PQ⊥BP，连接BQ，设AP=x，DQ=y
（1）求证：△ABP∽△DPQ．
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）并求出当y取何值，△ABP∽△PBQ．
（4）若点Q在DC的延长线上，则x的取值范围

 

．（不必写出过程）．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是矩形和PQ⊥BP，利用两组对应角相等即可求证△ABP∽△DPQ．
（2）根据△ABP∽△DPQ．利用其对应边成比例，将已知数值代入即可得出y与x的函数关系式．根据（点P不与点A，D重合），即可求出自变量x的取值范围．
（3）假设△ABP∽△PBQ．利用其对应边成比例，解得x的值，然后将x的值代入y=3x-

x2

4

即可．
（4）根据Q在DC的延长线上可知y＞4，即3x-

1

4

x2＞4，解此方程即可得出则x的取值范围．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠PQD+∠QPD=90°，
∵PQ⊥BP，
∴∠DPQ+∠APB=90°
∴∠APB=∠PQD，
∴△ABP∽△DPQ；

（2）∵△ABP∽△DPQ．
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，
∵AB=4，AD=12
∴

x

y

=

4

12-x

，即y=3x-

x2

4

．
∵AP与AD不重合，
∴0＜x＜12；
答：y与x的函数关系式为：y=3x-

x2

4

；
自变量x的取值范围是：0＜x＜12；

（3）假设△ABP∽△PBQ，
则

AP

QP

=

AB

BP

，即

x2

y2+(12-x)

=

16

x2+16

，
将y=3x-

x2

4

代入上式，解得x=6．
将x=6代入y=3x-

x2

4

，解得y=9．
答：当y=9时．△ABP∽△PBQ；

（4）∵Q在DC的延长线上，
∴y＞4，即3x-

1

4

x2＞4，
解此方程得6-2

5

＜x＜6+2

5

．
故答案为：6-2

5

＜x＜6+2

5

．

点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，函数等多个知识点的理解和掌握，综合性很强，难度较大，尤其是解此方程

x2

y2+(12-x)

=

16

x2+16

，总之此题是一道难题．