Question

对于关于x的二次函数y=ax²-（2a-1）x-1（a≠0），下列说法正确的有（　　）
①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；  ②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为

2

；
③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；      ④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①令y=0，即ax²-（2a-1）x-1=0，求出△，判断图象与x轴的交点个数，②把二次函数关系式y=ax²-（2a-1）x-1，可以判断两个定点，③求出对称轴，然后结合a的取值范围判断，④设函数图象与x轴的两交点为x₁，x₂，求出|x₁-x₂|进行判断．

解答：解：①令y=0，即ax²-（2a-1）x-1=0，△=4a²+1＞0，即二次函数图象与x轴必有两个交点；故本选项正确，
②y=ax²-（2a-1）x-1=a（x-1）²+（x-1）-a，当x=2时，y=1，当x=0时，y=-1，图象必过两定点（2，1），（0，-1），两点之间的距离为2

2

，故本选项错误，
③二次函数y=ax²-（2a-1）x-1（a≠0）的对称轴为x=2-

1

a

，当a＞0时不能判断y随x的增大而减小，故本选项错误；
④设函数图象与x轴的两交点为x₁，x₂，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4+ 1 a2

＞2，故函数图象截x轴所得的线段长度必大于2，故本选项正确，
故正确的有①④，
故选B．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，要熟悉抛物线的对称性及抛物线与x轴的交点坐标．