题目内容
（2002•东城区）已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=
，tan∠DOB=
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当△OCD的面积等于
，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据tan∠DOB=
可知Rt△OHB中两直角边的比，又因为OB=10，所以可根据勾股定理求出点B的坐标，进而求出解析式；
（2）已知A点横坐标m，代入反比例函数解析式，可求出A点坐标，根据OB=
和tan∠DOB=
，可利用勾股定理求出B点坐标；
把A、B两点坐标分别代入一次函数y=k2x+b的解析式，解方程组得到k2和b的值（用m表示），然后根据一次函数的性质，求出C点坐标，即得出OC的长，再求出以OC为底边，以A、B两点横坐标的绝对值为高的两个三角形△OCA和△COB的面积之和；
（3）设出抛物线解析式，将B（-3，-1），A（1，3）分别代入解析式，求出b的值以及a、c的关系式，再根据根与系数的关系解答．
解答：
解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB=
=
，
∴HO=3BH，
由勾股定理得，BH2+HO2=OB2，
又∵OB=
，
∴BH2+（3BH）2=（
）2，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴点B（-3，-1），
设反比例函数的解析式为y=
（k1≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，∴k1=3，
∴反比例函数的解析式为y=
．
（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0），由点A在第一象限，得m＞0，
又有点A在函数y=
的图象上，可求得点A的纵坐标为（m，
）．
因为tan∠DOB=
，OB=
，
设BH=a，则HO=3a，
于是根据勾股定理，a2+9a2=10，
解得a=±1，
则B点坐标为（-3，-1）．
把A、B两点坐标分别代入解析式得：
，
解得k=
，b=
，
函数解析式为y=
x+
，
得C（0，
）．
于是S=
（m+3）×
=
，
于是0＜m＜3．
（3）A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，
设过B（-3，-1），A（1，3）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
可得
，
解得b=2a+1，c=2-3a，
又因为A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长等于3，
所以设A（x1，0），（x2，0），x2＞x1，
可得x2-x1=3，两边平方得（x2+x1）2-4x1x2=9，
根据根与系数的关系（-
）2-4•
=9，将c=2-3a，b=2a+1代入，
得16a2-13a+1=0，
a=
，
当a=
时，b=2a+1=
，c=
；
当a=
时，b=
，c=
即A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，
函数的解析式是y=
x2+
x+
或y=
x2+
x+
．
点评：此题将一次函数、二次函数、反比例函数结合起来，有很强的综合性．根据图象交点坐标能求出相应线段的长，转化为一元二次方程根与系数的关系解答．
可知Rt△OHB中两直角边的比，又因为OB=10，所以可根据勾股定理求出点B的坐标，进而求出解析式；（2）已知A点横坐标m，代入反比例函数解析式，可求出A点坐标，根据OB=
和tan∠DOB=，可利用勾股定理求出B点坐标；把A、B两点坐标分别代入一次函数y=k2x+b的解析式，解方程组得到k2和b的值（用m表示），然后根据一次函数的性质，求出C点坐标，即得出OC的长，再求出以OC为底边，以A、B两点横坐标的绝对值为高的两个三角形△OCA和△COB的面积之和；
（3）设出抛物线解析式，将B（-3，-1），A（1，3）分别代入解析式，求出b的值以及a、c的关系式，再根据根与系数的关系解答．
解答：
解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，在Rt△OHB中，∵tan∠HOB=
=，∴HO=3BH，
由勾股定理得，BH2+HO2=OB2，
又∵OB=
，∴BH2+（3BH）2=（
）2，∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴点B（-3，-1），
设反比例函数的解析式为y=
（k1≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k1=3，
∴反比例函数的解析式为y=
．（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0），由点A在第一象限，得m＞0，
又有点A在函数y=
的图象上，可求得点A的纵坐标为（m，）．因为tan∠DOB=
，OB=，设BH=a，则HO=3a，
于是根据勾股定理，a2+9a2=10，
解得a=±1，
则B点坐标为（-3，-1）．
把A、B两点坐标分别代入解析式得：
，解得k=
，b=，函数解析式为y=
x+，得C（0，
）．于是S=
（m+3）×=，于是0＜m＜3．
（3）A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，
设过B（-3，-1），A（1，3）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
可得
，解得b=2a+1，c=2-3a，
又因为A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长等于3，
所以设A（x1，0），（x2，0），x2＞x1，
可得x2-x1=3，两边平方得（x2+x1）2-4x1x2=9，
根据根与系数的关系（-
）2-4•=9，将c=2-3a，b=2a+1代入，得16a2-13a+1=0，
a=
，当a=
时，b=2a+1=，c=；当a=
时，b=，c=即A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，
函数的解析式是y=
x2+x+或y=x2+x+．点评：此题将一次函数、二次函数、反比例函数结合起来，有很强的综合性．根据图象交点坐标能求出相应线段的长，转化为一元二次方程根与系数的关系解答．
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