题目内容
7、设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶数，
求证：a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．
求证：a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．
分析：首先利用偶数乘以任何一个自然数都是偶数，任何偶数相加减的结果都是偶数，把式子a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶数里面的与偶数相乘的项去掉，只讨论a1+3a3+5a3…+101a101的奇偶性即可，再进一步利用奇数+奇数=偶数，奇数×奇数=奇数讨论解答即可解决问题．
解答：证明：∵a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶数，
而2a2+4a4+…+100a100=s1也是偶数，
∴a1+3a3+5a3…+101a101一定是偶数，
a1+a3+a5+…+a99+a101与a1+3a3+5a3…+101a101的奇偶性是相同的，
①a1+a3+a5+…+a99+a101这51个数的和，如果里面有奇数个偶数，偶数个奇数，
可以得到计算的结果是偶数，推出结论与已知相同；
②a1+a3+a5+…+a99+a101这51个数的和，如果里面有偶数个偶数，奇数个奇数，
可以得到计算的结果是奇数，推出结论与已知相矛盾，假设不成立；
综上所知a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．
而2a2+4a4+…+100a100=s1也是偶数，
∴a1+3a3+5a3…+101a101一定是偶数，
a1+a3+a5+…+a99+a101与a1+3a3+5a3…+101a101的奇偶性是相同的，
①a1+a3+a5+…+a99+a101这51个数的和，如果里面有奇数个偶数，偶数个奇数，
可以得到计算的结果是偶数，推出结论与已知相同；
②a1+a3+a5+…+a99+a101这51个数的和，如果里面有偶数个偶数，奇数个奇数，
可以得到计算的结果是奇数，推出结论与已知相矛盾，假设不成立；
综上所知a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．
点评：此题主要考查运用奇数+奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数+偶数=偶数，偶数-偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数指意计算规律解决问题．
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