Question

如图（1），一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．如图（2），当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中，已知斜边AB，和锐角∠ABO，即可根据正弦和余弦的定义求得OA，OB的长；
（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO的度数，和∠P′A′O的度数，
在直角△ABO和△A′B′O中，根据三角函数即可求得OA与OA′，即可求得AA′的长．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∠α=60°．∴∠OAB=30°，
又AB=4（米），∴OB=

1

2

AB=2（米），OA=AB×sin60°=4×

3

2

=2

3

（米）．

（2）∵点P和点P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
∵∠PAO=30°，∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′×cos45°=4×

2

2

=2

2

．
∴AA′=OA-A′O=(2

3

-2

2

)米．

点评：此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．