Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得S△ABP＝S△ABO．若存在，请直接写出点P的坐标

Answer 1

【答案】（1）B（4，2）；（2）；（3）P 1 （0，0），P 2 （3，0）， ，

【解析】

（1） 过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x 轴，垂足为点E,则AF=2，OF=1，再证明Rt△AFO∽Rt△OEB，根据相似三角形的性质求得BE=2，OE=4，即可得点B的坐标为（4，2）；（2）利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；（3）根据三角形的面积公式求得点P的纵坐标只能是0或4，再解方程即可求得点P的坐标.

（1）如图，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x 轴，垂足为点E,则AF=2，OF=1，

∵OA⊥OB，

∴∠AOF+∠BOE=90°，

又∵∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOF=∠OBE，

∴Rt△AFO∽Rt△OEB，

∵OB＝2OA，

∴ ，

∴BE=2，OE=4，

∴B（4，2）；

（2）设过点A（-1，2），B（4，2），0（0，0）的抛物线为y=ax2 +bx，

∴，

解得， ，

∴所求抛物线的表达式为；

（3）∵A (－1，2)，B（4，2），

∴AB∥x轴，

设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，

则S△ABP = ，∴d=2，

∴点P的纵坐标只能是0或4，

令y=0，得 ，解之，得x=0，或x=3，

∴符合条件的点P1 （0，0），P 2 （3，0），

令y=4，得 ，解之，得 ，

∴符合条件的点 ，，

∴综上，符合题意的点有四个：P 1 （0，0），P 2 （3，0）， ， .