Question

已知⊙T与坐标轴有四个不同的交点M、P、N、Q，其中P是直线y=kx-1与y轴的交点，点Q与点P关于原点对称．抛物线y=ax²+bx+c经过点M、P、N，其顶点为H．
（1）求Q点的坐标；
（2）指出圆心T一定在哪一条直线上运动；
（3）当点H在直线y=kx-1上，且⊙T的半径等于圆心T到原点距离的

2

倍时，你能确定k的值吗？若能，请求出k的值；若不能，请你说明理由．（图供分析参考用）

Answer 1

分析：（1）根据过P的直线的解析式即可求出P（-1，0），而Q、P关于x轴对称，由此可求出Q点坐标．
（2）根据圆的对称性和垂径定理即可得出圆心必在x轴上运动．
（3）本题可分两种情况：分两种情况：①圆心T在x轴负半轴；②圆心T在x轴正半轴；解法一致．已知了圆的半径和圆心T到原点距离的倍数关系，通过连接TP构建直角三角形，可求出圆心的坐标和圆的半径．也就能求出M、N的坐标，然后根据M、N、C三点坐标即可求出抛物线的解析式也就能得出H点的坐标，然后将H点坐标代入直线的解析式中即可求出k的值．

解答：解：（1）y=kx-1交y于（0，-1）点，
∴P点的坐杯为（0，-1）
由Q与P关于原点对称，
∴Q点的坐标为（0，1）．

（2）已知圆过M、N、P、Q四点，根据圆的对称性和垂径定理可知MN必为圆的直径，
因此圆心T在x轴上运动．

（3）当T在x轴负半轴上时，连接TP，则TP=

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OT=

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，
∴OT=1，△TOP为等腰直角三角形．
∴T（-1，0）
∵圆的半径TP=

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，
∴M（-1-

2

，0），N（

2

-1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1+

2

）（x+1-

2

），
已知抛物线过P（0，-1），
∴a（0+1+

2

）（0+1-

2

）=-1
∴a=1
∴y=x²+2x-1=（x+1）²-2
∴H（-1，-2），代入直线y=kx-1中，
得k=1，
同理可求得当T在x轴正半轴上时，k=-1．
因此k的值为±1．

点评：本题主要考查了二次函数、一次函数以及圆的相关知识．难度适中．