Question

如图，△ABC是一块等腰三角形的废铁料(AB＝AC)．已知∠BAC是锐角，量得底边BC的长为60 cm，BC边上的高为40 cm，用它截一块一边长为30 cm的矩形(要求：使矩形的一边与△ABC的一边重合，而矩形的另两个顶点分别在△ABC的另两条边上)．

(1)问一共有几种不同的截法，请在图中画出所有截法的示意图，并在图中标明长为30 cm的那条边；

(2)试求出以上你所画的各种截法中，所截得的矩形的另一边长．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)因矩形一边长30 cm，另一边长不确定，故矩形截法有六种(如图所示，一边在AC上的两种画法未画出，与截法二和截法四类似)，其中PQ＝30 cm．

　　(2)①在△ABC中，作AF⊥BC，垂足为F，易得AB＝AC＝＝＝50(cm)

　　②作CH⊥AB，垂足为H，由△ABF∽△CBH，知AF·BC＝CH·AB，易得CH为48 cm．由相似三角形的性质，易求得截法一中PN＝20 cm，截法二中PN＝19.2 cm，截法三中PN＝15 cm，截法四中PN＝18.75 cm．因为△ABC为等腰三角形，故一条边在AC上时的情况与截法二、截法四一样．

　　点评：题目不仅考查相似三角形知识的拓展，而且开放性的设计又考查了分类讨论思想及建模能力，极富有操作性及思想性．