题目内容
（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据抛物线y=
x2+bx+c经过点B（0，4），以及顶点在直线x=
上，得出b，c即可；
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=
时，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出
=
，得到ON=
t，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=
| 5 |
| 2 |
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出
| OM |
| OB |
| ON |
| OD |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵抛物线y=
x2+bx+c经过点B（0，4）
∴c=4，
∵顶点在直线x=
上，
∴-
=-
=
，
∴b=-
；
∴所求函数关系式为y=
x2-
x+4；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=
=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=
×52-
×5+ 4=4，
当x=2时，y=
×22-
×2+ 4=0，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则
，
解得：
，
∴y=
x-
，
当x=
时，y=
×
-
=
，
∴P（
，
），
（4）∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴
=
即
=
得ON=
t，
设对称轴交x于点F，
则S梯形PFOM=
（PF+OM）•OF=
（
+t）×
=
t+
，
∵S△MON=
OM•ON=
t•
t=
t2，
S△PNF=
×NF•PF=
×（
-
t）×
=-
t+
，
S=
t+
-
t2 -（-
t+
），
=-
t2+
t（0＜t＜4），
a=-
＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．
由S△PMN=-
t2+
t=-
（t-
）2+
，
∴当t=
时，S取最大值是
，
此时，点M的坐标为（0，
）．
| 2 |
| 3 |
∴c=4，
∵顶点在直线x=
| 5 |
| 2 |
∴-
| b |
| 2a |
| b | ||
2×
|
| 5 |
| 2 |
∴b=-
| 10 |
| 3 |
∴所求函数关系式为y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=
| OA2+OB2 |
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
当x=2时，y=
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则
|
解得：
|
∴y=
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
当x=
| 5 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴P（
| 5 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
（4）∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴
| OM |
| OB |
| ON |
| OD |
| t |
| 4 |
| ON |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设对称轴交x于点F，
则S梯形PFOM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
∵S△MON=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
S△PNF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
S=
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
=-
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 12 |
a=-
| 1 |
| 4 |
由S△PMN=-
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 12 |
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 6 |
| 289 |
| 144 |
∴当t=
| 17 |
| 6 |
| 289 |
| 144 |
此时，点M的坐标为（0，
| 17 |
| 6 |
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．
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