题目内容

某农户进行某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y（元）与销售月份x（月）满足关系式y=-2x+38（1≤x≤12，x取正整数），而其每千克成本p（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定p与销售月份x的函数关系式；
（2）“五•一”节之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
（3）若第九月份的销售量要在第八月份的基础上增加a%，第九月份的售价要在历年九月份市场行情售价基础上增加0.2a%，才能满足第八月份、第九月份这两个月的销售额持平，求a的值．（保留2个有效数字，参考数据：

≈6.082，

≈6.164）

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可解答；
（2）利用每千克的利润=每千克售价-每千克成本列出二次函数解析式，进一步利用配方法解决问题；
（3）利用水产品的每千克售价×销售量=销售额，列出第八月份、第九月份这两个月的销售额，联立方程解答即可．

解答：解：（1）∵p=x²+bx+c过（3，17），（4，10）两点，
∴

17=9+3b+c

10=16+4b+c

，
解得

b=-14

c=50

，
∴p=x²-14x+50；

（2）设利润为W，则W=y-p=（-2x+38）-（x²-14x+50）=-x²+12x-12=-（x-6）²+24，
∵a=-1＜0，对称轴x=6，
∴在对称轴的左边W随x的增大而增大．
∵x＜5，
∴当x=4时，
W_最大=-（4-6）²+24=20（元）；

（3）设8月份的销售量是m千克，根据题意列方程得，
（-2×8+38）•m=m（1+a%）•（-2×9+38）•（1+0.2a%）
设a%=t，
∴2t²+12t-1=0，
∴t=

-12±

122+8

-12±2

-6±

，
∵

≈6.164，
∴t1=

-6+6.164

=0.082，t₂=-6.082（舍去），
∴a%=0.082，
∴a=8.2，
答：a的值是8.2．

点评：此题主要结合销售中的基本数量关系：利润=售价-成本，售价×销售量=销售额，列出函数解析式，利用配方法求最值，以及利用一元二次方程解决实际问题，是一道较好的综合题．