题目内容
（2012•连云港一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OABC的形状是
的值是
；
（2）①如图1，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求PQ的长；
②如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求PQ的长．
（3）小明在旋转中发现，当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段
BQ，此时点P的坐标是
（1）四边形OABC的形状是
矩形
矩形
，当α=90°时，| BP |
| BQ |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| 7 |
（2）①如图1，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求PQ的长；
②如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求PQ的长．
（3）小明在旋转中发现，当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段
OP
OP
相等；同时存在着特殊情况BP=| 1 |
| 2 |
（-
，6）
| 7 |
| 4 |
（-
，6）
．| 7 |
| 4 |
分析：（1）根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形OA′B′C′是矩形，当α=90°时，可知
=
，根据比例的性质得出
=
；
（2）①由△COP∽△A'OB'，根据相似三角形对应边成比例得出CP=
，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，则PQ可求；
②先利用AAS证明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即OP=PQ，然后在Rt△OCP中，运用勾股定理即可求出PQ的长；
（3）当点P位于点B的右侧时，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，根据S△POQ=S△POQ，即可证明出PQ=OP；
设BP=x，在Rt△PCO中，运用勾股定理，得出x=
，进而求得点P的坐标．
| BP |
| PQ |
| 4 |
| 3 |
| BP |
| BQ |
| 4 |
| 7 |
（2）①由△COP∽△A'OB'，根据相似三角形对应边成比例得出CP=
| 9 |
| 2 |
②先利用AAS证明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即OP=PQ，然后在Rt△OCP中，运用勾股定理即可求出PQ的长；
（3）当点P位于点B的右侧时，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，根据S△POQ=S△POQ，即可证明出PQ=OP；
设BP=x，在Rt△PCO中，运用勾股定理，得出x=
| 25 |
| 4 |
解答：
解：（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如右图，
根据题意，得
=
=
，
则
=
；
（2）①如图1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴
=
，即
=
，
∴CP=
．
同理△B'CQ∽△B'C'O，
=
，即
=
，
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=
；
②如图2，∵在△OCP和△B'A'P中，
，
∴△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
设PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，
解得x=
．
故所求PQ的长为
；
（3）当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段OP相等；同时存在着特殊情况BP=
BQ，此时点P的坐标是P（-
，6）．理由如下：
如备用图，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S△POQ=
PQ•OC，S△POQ=
OP•QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP=
BQ，
∴BQ=2x，
∵点P在点B右侧，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，
解得x=
．
∴PC=BC-BP=8-
=
，
∴P（-
，6）．
故答案为：矩形，
；OP，P（-
，6）．
解：（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如右图，
根据题意，得
| BP |
| PQ |
| 8 |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
则
| BP |
| BQ |
| 4 |
| 7 |
（2）①如图1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴
| CP |
| A′B′ |
| OC |
| OA′ |
| CP |
| 6 |
| 6 |
| 8 |
∴CP=
| 9 |
| 2 |
同理△B'CQ∽△B'C'O，
| CQ |
| OC′ |
| B′C |
| B′C′ |
| CQ |
| 6 |
| 10-6 |
| 8 |
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=
| 15 |
| 2 |
②如图2，∵在△OCP和△B'A'P中，
|
∴△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
设PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，
解得x=
| 25 |
| 4 |
故所求PQ的长为
| 25 |
| 4 |
（3）当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段OP相等；同时存在着特殊情况BP=
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 4 |
如备用图，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S△POQ=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP=
| 1 |
| 2 |
∴BQ=2x，
∵点P在点B右侧，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，
解得x=
| 25 |
| 4 |
∴PC=BC-BP=8-
| 25 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
∴P（-
| 7 |
| 4 |
故答案为：矩形，
| 4 |
| 7 |
| 7 |
| 4 |
点评：本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．
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