Question

某名牌洁具厂生产的一款经典淋浴花洒A（简称“花洒A”），因其造型时尚典雅，质量过硬，在市场上供不应求，深受消费者喜爱．但花洒的价格受其主要原材料铜的价格的影响很大，从去年1至12月，国内铜价一路下跌，每千克铜价y（元）与月份x（1≤x≤12，且x取正整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
铜价y（元/千克）	59	58	57	56	55	54	53	52	51	50	49	48

该洁具厂每月按定单数量购买原材料组织生产，并将每套花洒A的出厂价定为680元．已知每套花洒A的含铜量为8千克，每套花洒A的其它成本为120元，且1至12月花洒A的定单数量p（万套）与月份x满足函数关系式p=-0.1x+2.2（1≤x≤12，且x取正整数）．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求出y与x之间的函数关系式；
（2）求该厂去年生产花洒A的利润W（万元）与x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月生产花洒A的利润最大，且最大利润是多少万元？
（3）受国际大宗商品价格上涨的影响，今年1月的铜价比去年12月每千克上涨10元，另一方面，由于临近春节原材料成本增长，其它成本上涨至131元/套．该洁具厂决定从今年1月开始，每套花洒A的出厂价在去年的基础上提高a%，与此同时花洒A的月定单数量在去年12月的基础上减少1.8a%．但是，为解决0.8万个水龙头B的库存问题，洁具厂计划今年1月在原定单基础上多生产0.8万套花洒A，与水龙头B搭配成淋浴组合C（一套花洒A+1个水龙头B）进行销售，已知每年个水龙头B的所有成本是105元（含铜成本），洁具厂将每套淋浴组合C的出厂价定为1000元，新增的0.8万套淋浴组合C定单被抢购一空．这样，该厂今年1月计划生产的花洒A和淋浴组合C获总利润376万元．请你参考以下数据，估算出a的整数值（0＜a＜20）．
（参考数据：9.6²=92.16，9.7²=94.09，9.8²=96.04，9.9²=98.01）

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法就可以直接求出一次函数的解析式；
（2）根据利润=（出厂价-成本价）×数量就可以求出利润W与月份x之间的函数关系式．
（3）先根据条件求出今年1月份铜价为（48+10）元，今年得花洒A的出厂价为680（1+a%）元，去年12月的订单量为p=-0.1×12+2.2=1万套，就可以表示出组合c的每套利润为（1000-58×8-131-105）元，进而可以求出组合c的利润，再加上订单销售的而利润等于总利润建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，由题意得：

59=k+b 58=2k+b

，
解得：

k=-1 b=60

，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-x+60；
（2）由题意得：
W=[680-8（-x+60）-120]（-0.1x+2.2），
=-0.8x²+9.6x+176，
=-0.8（x²-12x）+176，
=-0.8（x-6）²+204.8，
∴当x=6时，W_最大=204.8元．
∴6月生产花洒A的利润最大，且最大利润是204.8万元；
（3）由题意，得
去年12月份铜的价格为：48元/千克，
∴今年1月份铜的价格为：48+10=58元/千克，
去年12月份的订单量为：P=-0.1×12+2.2=1（万套），
今年1月份出厂价为：680（1+a%）元，
今年1月份的订单为：1×（1-1.8a%）．
∴1×（1-1.8a%）[680×（1+a%）-8×58-131]+0.8[1000-8×58-131-105]=376，
设a%=m，则原方程化简为：
1224m²-527m+51=0，
m=

527± 5272-4×1224×51

2448

=

527±17 97

2448

，
∵9.8²=96.04，
∴m=

527±17×9.8

2448

，
∴m₁≈0.283，m₂≈0.147，
∴a%=0.283，或a%=0.147，
∴a₁=28.3，a₂=14.7
∵a为整数，0＜a＜20，
∴a=15．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出函数的解析式是重点，根据1月份计划生产的花洒A和淋浴组合C获总利润为376万元建立方程是求a值关键．