题目内容
（2012•宁德质检）在数学“综合与实践”课中，陈老师要求同学们制作一张直角梯形纸片ABCD，要求梯形的上底AD=3cm，下底BC=5cm．探索：当直角梯形ABCD的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个既不重叠又无空隙的特殊几何图形．
（1）如图1，小颖过腰CD的中点E作EF⊥BC于F，沿EF将梯形剪切后，拼成正方形．求小颖所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（2）如图2，小亮过点B作BM⊥CD于M，沿BM将梯形剪切后，拼成直角三角形．请在答题卡的相应位置补全拼后的一种直角三角形草图，并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（3）探索当直角梯形的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个不是正方形的菱形．请在答题卡的相应位置画出两种不同剪切、拼图方法的草图，并直接写出原直角梯形的高AB．
（1）如图1，小颖过腰CD的中点E作EF⊥BC于F，沿EF将梯形剪切后，拼成正方形．求小颖所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（2）如图2，小亮过点B作BM⊥CD于M，沿BM将梯形剪切后，拼成直角三角形．请在答题卡的相应位置补全拼后的一种直角三角形草图，并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（3）探索当直角梯形的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个不是正方形的菱形．请在答题卡的相应位置画出两种不同剪切、拼图方法的草图，并直接写出原直角梯形的高AB．
分析：（1）由拼图可知△DGE≌△CFE，若四边形ABFG是正方形，设DG为x，AG=BF=AB，即3+x=5-x，求出x的值，由AB=AG即可得出结论；
（2）按如图2方式拼接，由拼图可知△GAD≌△BMC，由勾股定理可求出GA的长，由相似三角形的判定定理得出△GAD∽△GMB，故可得出
=
，即
=
，求出GB的长，进而可得出AB的长；
（3）按如图4方式拼接成一个菱形，过点D作DM⊥BC于点M，则AB=DM，由菱形的性质得出CD的长，在Rt△DMC中利用勾股定理可求出DM的长，故可得出结论；按如图5方式拼接成一个菱形，由AD=3cm，BC=5cm可设BM=x，则CM=5-x，ND=MN=3+x，四边形NMCD是菱形可求出x的值，在Rt△OBM中利用勾股定理可求出OB的长，进而可得出AB的长．
（2）按如图2方式拼接，由拼图可知△GAD≌△BMC，由勾股定理可求出GA的长，由相似三角形的判定定理得出△GAD∽△GMB，故可得出
| GD |
| GB |
| AD |
| MB |
| 5 |
| GB |
| 3 |
| 4 |
（3）按如图4方式拼接成一个菱形，过点D作DM⊥BC于点M，则AB=DM，由菱形的性质得出CD的长，在Rt△DMC中利用勾股定理可求出DM的长，故可得出结论；按如图5方式拼接成一个菱形，由AD=3cm，BC=5cm可设BM=x，则CM=5-x，ND=MN=3+x，四边形NMCD是菱形可求出x的值，在Rt△OBM中利用勾股定理可求出OB的长，进而可得出AB的长．
解答：
解：（1）∵由拼图可知△DGE≌△CFE，由拼图得，若四边形ABFG是正方形，设DG为x，
∴AG=BF=AB，即3+x=5-x，
解得：x=1，
∴AB=AG=3+1=4；
（2）拼法1：按如图2方式拼接，由拼图可知△GAD≌△BMC，
解法一：∵GD=BC=5，由勾股定理可得：GA=
=
=4
∴BM=AG=4，
∵∠GAD=∠GMB=90°，∠G=∠G，
∴△GAD∽△GMB，
∴
=
，即
=
，
解得：GB=
，
∴AB=
-4=
，
解法二：∵CM=AD=3，由勾股定理可得：BM=
=4，
作DE⊥BC于E，得EC=2，
∵∠BMC=∠DEC=90°，
∴tanC=
=
，
∴
=
，
∴AB=DE=
．
拼法2：按如图3方式拼接，
由拼图可知，△HMD≌△BMC，
∴∠HMD+∠BMD=180°，∠HDM+∠ADC=180°，
∴点H是AD与BM延长线的交点，
则HD=BC=5，HM=BM，
∵∠HMD=∠A=90°，
由cosH=
=
，即
=
，解得：HM=2
，
∴BH=2HM=4
，
由勾股定理可得：AB=
=
=4；
（3）按如图4方式拼接成一个菱形，过点D作DM⊥BC于点M，则AB=DM，
则AD=3，BC=5，四边形GHCF是菱形，
则CH=CF=8，
则MC=CB-AD=5-3=2，DC=2CF=16，
在Rt△DMC中，DM=
=
=6
，即梯形高AB=6
cm；
按如图5方式拼接成一个菱形，
∵AD=3，BC=5，
∴设BM=x，则CM=5-x，ND=MN=3+x，
∵四边形NMCD是菱形，
∴CM=ND=MN，即5-x=3+x，解得x=1，
∴CM=MN=4，
∴OM=
MN=2，
在Rt△OBM中，OB=
=
=
，
∴AB=2OB=2
（cm），即梯形高为2
cm．
解：（1）∵由拼图可知△DGE≌△CFE，由拼图得，若四边形ABFG是正方形，设DG为x，∴AG=BF=AB，即3+x=5-x，
解得：x=1，
∴AB=AG=3+1=4；
（2）拼法1：按如图2方式拼接，由拼图可知△GAD≌△BMC，
解法一：∵GD=BC=5，由勾股定理可得：GA=
| GD2-AD2 |
| 52-32 |
∴BM=AG=4，
∵∠GAD=∠GMB=90°，∠G=∠G，
∴△GAD∽△GMB，
∴
| GD |
| GB |
| AD |
| MB |
| 5 |
| GB |
| 3 |
| 4 |
解得：GB=
| 20 |
| 3 |
∴AB=
| 20 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
解法二：∵CM=AD=3，由勾股定理可得：BM=
| BC2-CM2 |
作DE⊥BC于E，得EC=2，
∵∠BMC=∠DEC=90°，
∴tanC=
| BM |
| CM |
| DE |
| EC |
∴
| 4 |
| 3 |
| DE |
| 2 |
∴AB=DE=
| 8 |
| 3 |
拼法2：按如图3方式拼接，
由拼图可知，△HMD≌△BMC，
∴∠HMD+∠BMD=180°，∠HDM+∠ADC=180°，
∴点H是AD与BM延长线的交点，
则HD=BC=5，HM=BM，
∵∠HMD=∠A=90°，
由cosH=
| AH |
| BH |
| MH |
| DH |
| 8 |
| 2MH |
| MH |
| 5 |
| 5 |
∴BH=2HM=4
| 5 |
由勾股定理可得：AB=
| BH2-AH2 |
(4
|
（3）按如图4方式拼接成一个菱形，过点D作DM⊥BC于点M，则AB=DM，
则AD=3，BC=5，四边形GHCF是菱形，
则CH=CF=8，
则MC=CB-AD=5-3=2，DC=2CF=16，
在Rt△DMC中，DM=
| DC2-MC2 |
| 162-22 |
| 7 |
| 7 |
按如图5方式拼接成一个菱形，
∵AD=3，BC=5，
∴设BM=x，则CM=5-x，ND=MN=3+x，
∵四边形NMCD是菱形，∴CM=ND=MN，即5-x=3+x，解得x=1，
∴CM=MN=4，
∴OM=
| 1 |
| 2 |
在Rt△OBM中，OB=
| OM2-BM2 |
| 22-12 |
| 3 |
∴AB=2OB=2
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角梯形的性质等相关知识，涉及面较广，难度较大．
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