Question

现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图．
若∠ABC=90°，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图．
若∠ABC=1 20°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题目所给的x的值和矩形梯形的性质，求出各线段长，把面积用含y的代数式表示出来；
（2）先猜想截面的形状，再进行验证计算，可多设计几种方案．
解答：解：（1）①当BC=x时，AB=CD=，y=x，即y=-x²+90x，
当x=90时，y_max=4050
答：当x=90cm时，y值最大，最大值是4050cm²．
②过B、C点分别作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．
设BC=x，y=（-x²+360x+32400）
=
当x=60时，y=2700≈4676.5．
答：当x=60cm时，y值最大，最大值是4676.5cm²
4676.5＞4050（8分）

（2）正确方案：
例解：当截面为半圆时，因为180=πr，所以其半径为r=，其面积为S=π（）²
≈5156.6＞4676.5，面积更大．
①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．

点评：此题是一道探索性操作题，根据图形特点将面积的最值问题转化为二次函数的最值问题解答是解题的关键，（2）着重考查了同学们的实验探索能力，需要进行猜想和验证计算．