题目内容
题甲:如图,反比例函数
的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1,3),B(n,-1)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
题乙:如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边经过点C,另一直角边AB交于点E.我们知道,结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立.
(1)当∠CPD=30°时,求AE的长;
(2)是否存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说
明理由.
甲题:
解:(1)∵A(1,3)在y=
的图象上,
∴k=3,
∴
.
又∵B(n,-1)在
的图象上,
∴n=-3,即B(-3,-1).
∴
解得:m=1,b=2.
∴反比例函数的解析式为
,一次函数的解析式为y=x+2;
(2)从图象上可知,当反比例函数图象在一次函数图象上面时,
即x<-3或0<x<1时,反比例函数的值大于一次函数的值.
乙题:
解:(1)在Rt△PCD中,由tan∠CPD=
,得
,
∴AP=AD-PD=10-4
.
由△AEP∽△DPC知:
,
∴
;
(2)假设存在满足条件的点P,设DP=x,则AP=10-x.
由△AEP∽△DPC知:
,
∴
,
解得x=8.
即PD=8.
分析:甲题:A(1,3)在y=
的图象上,代入就可以求出k的值,得到k=3,把B(n,-1)代入
的解析式就可以求出n的值.进而根据待定系数法求出一次函数的解析式.根据函数的图象就可以得到,反比例函数的值大于一次函数的值时x的范围.
乙题:①先由“∠CPD=30°和AC=4”得出DP的长,再得AP,从而可求AE;②可以求出,只要先令DP=2AP即可.
点评:本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及反比例函数的图象画法和它的性质,利用形数结合解决此类问题,是非常有效的方法.
解:(1)∵A(1,3)在y=

∴k=3,
∴

又∵B(n,-1)在

∴n=-3,即B(-3,-1).
∴

∴反比例函数的解析式为

(2)从图象上可知,当反比例函数图象在一次函数图象上面时,
即x<-3或0<x<1时,反比例函数的值大于一次函数的值.
乙题:
解:(1)在Rt△PCD中,由tan∠CPD=


∴AP=AD-PD=10-4

由△AEP∽△DPC知:

∴

(2)假设存在满足条件的点P,设DP=x,则AP=10-x.
由△AEP∽△DPC知:

∴

解得x=8.
即PD=8.
分析:甲题:A(1,3)在y=


乙题:①先由“∠CPD=30°和AC=4”得出DP的长,再得AP,从而可求AE;②可以求出,只要先令DP=2AP即可.
点评:本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及反比例函数的图象画法和它的性质,利用形数结合解决此类问题,是非常有效的方法.

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