Question

如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE.

(1)  如图所示，观察猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；

(2)  连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并说明理由.

Answer 1

 解:(1). 观察猜想DE是⊙O的切线.

证明: 如图,连接OD、DB、OE,.

∵AB是⊙O直径，∴∠CDB=∠ADB=90⁰.

又∵BE=CE，∴   DE=BE.

又∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE（SSS）.

∴∠ODE=∠OBE=90⁰.

 ∴DE是⊙O的切线.

(2).当∠CAB=45⁰ 时，四边形AOED是平行四边形.

理由是：如图，∵CE=BE，AO=BO，∴OE∥AC.

又∵∠CAB=45⁰ ，∠ABC=90⁰.∴∠C==45⁰ .

∴AB=BC. ∴AD=DC.∴AD=DC. ∴ DE∥AB. ∴四边形AOED是平行四边形.

（其它解法合理,参照给分）.