Question

今年，重庆启动“两翼”农户万元增收工程，使农户纯收入在2009年的基础上户均增加1万元，某县种植了一种无公害蔬菜，该县决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低．经调查，种植亩数y（亩）、每亩蔬菜的收益z（元）与补贴数额x（元）之间的关系如下表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（亩）	800	1600	2400	3200	…
z（元）	3000	2700	2400	2100	…

（1）分别求出政府补贴政策实施后种植亩数y、每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（2）要使全县这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值和此时种植亩数．
（3）在取得最大收益的情况下，为了满足市场需求，用不超过70亩的土地对这种蔬菜进行反季节的种植．为此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每亩的为650元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（亩）的平方成正比例，比例系数为25．这样，修建大棚后的这部分土地每亩的平均收益比没修前增加了2000元，在扣除修建费后总共增加了85000元．求修建了多少亩蔬菜大棚？（结果精确到个位，参考数据：1.414）

Answer 1

解：（1）设y=kx+b，由图象显然b=800，将点（100，1600），
代入y=kx+800，1600=k×100+800，
解得：k=8
故y=8x+800，
同理：设z=ax+c，由图象显然c=3000，将点（100，2700），
代入z=ax+3000，2700=a×100+3000，
解得：a=-3，
z=-3x+3000；

（2）∵w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24x²+21600x+2400000，
∴w=-24（x-450）²+7260000，
故每亩应补贴x=450元，w的最大值为7260000元，
此时y=8×450+800=4400亩；

（3）设修建了m亩蔬菜大棚，原来每亩的平均收益为=1650元，
由题意得方程：（1650+2000）m-650m-25m²=85000，
解得m₁=60+10≈74，m₂=60-10≈46，
∵0＜m≤70，
∴m≈46．
答：修建了46亩蔬菜大棚．
分析：（1）根据图标提供的数据可以分别求出种植亩数y、每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的一次函数关系式；
（2）根据（1）中z与x，以及y与x之间的关系，可以求出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数最值求法求出即可；
（3）设修建了m亩蔬菜大棚，列方程解出m值．
点评：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，题目综合性较强，认真分析表示出各部分建筑费，从而根据扣除修建费后总费用是85000元从而求出是解决问题的关键．