题目内容

【阅读理解】：若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．如图①，直线l经过三角形ABC的顶点A和边BC的中点N，易知直线l将△ABC分成两个面积相等的图形，则称直线l为△ABC的等积直线．

根据上述内容解决以下问题：
（1）如图②，在矩形ABCD中，直线l经过AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线．

是

（填“是”或“否”）并在图②中再画出一条该矩形的等积直线；（不必写作法，保留作图痕迹）
（2）如图③，在梯形ABCD中，直线l经过AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线．

是

；（填“是”或“否”）
（3）在图③中，过MN的中点O任做一条直线PQ分别交AD，BC于点P，Q（如图④），猜想PQ是否为该梯形的等积直线，若“是”请证明，若“不是”请说明理由；
【探索应用】：
李大爷家有一块五边形的土地如图⑤，已知∠A、∠B、∠C都是直角，AB∥CD，BC∥AE，现决定画一条线把五边形土地分为两
块，其中一块地用来改种核桃树，要求两块地面积相同，请你帮李大爷画出这条线，并判断这样的直线有多少条（保留作图痕迹，不必说明理由）．

分析：（1）根据矩形的面积公式即可判断是等积直线，连接AC与MN相交于点O，则点O为矩形的中心，过点O的所有直线都是等积直线；
（2）根据梯形的面积公式可以判断是等积直线；
（3）可证明△POM≌△QON，于是S_△POM=S_△QON，再利用（2）的结论可判断；
探索应用：可结合（2）、（3）两问的结论，把五边形分为矩形和梯形，分别作出两个图形的等积直线，然后再作出等积直线夹在AE、DF，DF、BC之间的线段的中点，过这两点作等积直线被AE、BC所截的线段的中点O，根据（3）的结论，过点O与AE、BC都相交的所有直线都是等积直线．

解答：

解：（1）是；如图所示，直线m即为所求作的另一等积直线；
（说明：只要所画直线过MN的中点且与AD、BC或AB、CD相交即可．）

（2）是；

（3）是；
证明：∵O是MN的中点，
∴MO=NO，
在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PMO=∠QNO，
在△POM和△QON中，
∵

∠PMO=∠QNO

MO=NO

∠POM=∠QON(对顶角相等)

，

∴△POM≌△QON（ASA），
∴S_△POM=S_△QON，
又∵MN是等积直线，
∴PQ也是等积直线；

探索应用：如图所示，过点O且与线段AE、BC相交的直线均为所求的等积直线，所以有无数条等积直线．
（说明：过点D作DF∥BC交AB于点F，点G、H、L分别是AE、DF、BC的中点，取线段GH的中点M，线段HL的中点N，过点M、N的直线即为所求的直线m．
设等积直线m被AE、BC所截线段的中点为O，由（2）（3）可知过点O且与线段AE、BC相交的直线均为所求的等积直线，所以有无数条等积直线．）

点评：本题考查了应用与设计作图，读懂题意，明确等积直线的画法，并熟练掌握三角形的中线，矩形的性质，梯形的面积的求解是解题的关键．