题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E是DC上一点,将∠D沿折痕AE折叠,使点D落在点D′处,当△AD′B为等腰三角形时,则DE的长为______________.
【答案】或16﹣
.
【解析】
试题分析:①当AD′=D′B=5时,过点D′作MN⊥AB于点N,MN交CD于点M,如图1所示.设DE=a,则D′E=a.∵将∠D沿折痕AE折叠,使点D落在点D′处,∴AN=DM=CD=
AB=4,AD=AD′=5,由勾股定理可知:ND′=
=3,∴MD′=MN﹣ND′=AD﹣ND′=2,EM=DM﹣DE=4﹣a,∵ED′2=EM2+MD′2,即a2=(4﹣a)2+4,解得:a=
;
②当AB=D′B=8时,过点D′作MN⊥AB于点N,MN交CD于点M,如图2所示.设DE=a,则D′E=a.∵将∠D沿折痕AE折叠,使点D落在点D′处,∴AD′=AD=5,∴AD′2﹣AN2=BD′2﹣BN2,即52﹣AN2=82﹣(8﹣AN)2,∴AN=,∴BN=
,∴D′N=
,∵∠MED′+∠ED′M=∠ED′M+∠AD′N=90°,∴∠MED′=∠AD′N,∴△EMD′∽△AD′N,∴
,即
=
,∴a=16﹣
,∴当△AD′B为等腰三角形时,则DE的长为
或16﹣
.故答案为:
或16﹣
.
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