Question

如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=

3

．点T在线段AO上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作AO的垂线那么得出的锐角的正切值就应该是上下底的差除以OC的长，正好可得出这个锐角应是30°，那么∠BAT的度数就应该是60°；
（2）由（1）得出的∠BAO的60°，以及折叠得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等边三角形，且三边长均为5-t．求面积就要有底边和高，我们可以AA′为高，那么PT就是高，AA′=5-t，那么关键是PT的值，已知了∠BAT的度数，我们可以用AT的长以及∠BAT的正弦函数表示出PT的长，由此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式；
（3）当重叠部分是四边形时，那么此时A′应该在AB的延长线上，那么此时AA′的最小值应该是AB的长即2，最大的值应该是当P与B重合时AA′的值即4，由于三角形ATA′是个等边三角形，那么AT的取值范围就是2＜AT＜4，那么t的取值就应是1＜t＜3；
（4）可分成三种情况进行讨论：
①当A′在AB上时，即当3≤t＜5时，可根据（2）的函数来求出此时S的最大值．
②当A′在AB延长线上但P在AB上时，即当1≤t＜3时，此时重合部分的面积=三角形AA′T的面积-上面的小三角形的面积，根据AT和AB的长，我们可得出A′B的长，然后按（2）的方法即可得出上面的小三角形的面积，也就可以求出重合部分的面积；
③当A′在AB延长线上且P也在AB延长线上时，即当0＜t＜1时，重合部分的面积就是三角形EFT的面积（其中E是TA′与CB的交点，F是TA与CB的交点）那么关键是求出BF，BE的值，知道了AT的长，也就知道了AP、A′P的长，根据AB=2我们不难得出BP的长，有了BP的长就可以求出A′B、BE的长，在直角三角形BPE中，可根据∠PBF的度数，和BP的长，来表示出BF的长，这样我们就能表示出EF的长了，又知道EF边上的高是OC的长，因此可根据三角形的面积来求出S的值．
然后综合三种情况判断出是否有S的最大值．

解答：解：（1）过点B作BE⊥OA，垂足为E，可得AE=OA-OE=1，tanA=

3

，
∴∠OAB=60°；（2分）
（2）当点A在线段AB上时，
∵∠OAB=60°，TA=TA′，
∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AB，TA=5-t，
∴S_△ATP=

1

2

S_△ATA=

1

2

•

3

4

（5-t）²=

3

8

（5-t）²，（3≤t＜5）；
（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，因△A′TA是等边三角形，所以2＜AT＜4，从而1＜t＜3；
（4）S存在最大值．
①当3≤t＜5时，S=

3

8

（5-t）²，在对称轴t=5的左边，S的值随t的增大而减小，当t=3时，S的值最大是

3

2

；（8分）

②当1≤t＜3时，重叠部分的面积S=

3

8

（5-t）²-

3

4

（3-t）²=-

3

8

（t-1）²+

3

；
当t=1时，S有最大值为

3

；

③当0＜t≤1时，即当点A′和点P都在线段AB的延长线上（其中E是TA′与CB的交点，F是TA与CB的交点），
此时重叠部分的面积是三角形EFT的面积，AP=

1

2

AT=

5-t

2

，BP=AP-AB=

1-t

2

，
AB=AP+BP=

5-t

2

+

1-t

2

=3-t，因为三角形ABE是等边三角形，因此，
BE=AB=3-t，在直角三角形BPF中，PF=2BP=1-t，因此EF=BE-BF=3-t-（1-t）=2，
因此S=

1

2

×2×

3

=

3

．

综上所述，当t=1时，S存在最大值，最大值是

3

．

点评：本题主要考查了直角梯形，等边三角形的性质以及二次函数的应用等知识点，弄清楚等边三角形中各边的关系是解题的关键．