题目内容
【题目】如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)BM=MC.理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C,然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=BP,∠BAM=∠CBP,再求出AM⊥BP,从而得到MN∥BP,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ,然后求出△ABM和△MCQ相似,根据相似三角形对应边成比例可得,再求出△AMQ∽△ABM,根据相似三角形对应边成比例可得,从而得到,即可得解.
试题解析:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C,
在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)解:BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABC=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴,
∴,
∴BM=MC.
【题目】为降低空气污染,启东飞鹤公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车.计划购买A型和B型两种公交车共10辆,其中每台的价格,年载客量如表:
A型 | B型 | |
价格(万元/台) | a | b |
年载客量(万人/年) | 60 | 100 |
若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求a,b的值;
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你设计一个方案,使得购车总费用最少.