Question

如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则

EF

BF

=（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  4

• C、1-

  2

  2

• D、

  2 -1

  2

Answer 1

分析：根据平行线的性质证得，△ADE是等腰直角三角形，求得BE=

2

+1，再证△AEF∽△BEA，得EF=

1

2 +1

=

2

-1，BF=2．所以

EF

BF

=

2 -1

2

．

解答：解：方法1：连接AE、CE，作AD∥CE，交BE于D．
∵点E是弧AC的中点
∴可设AE=CE=1，
根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°．
∴△ADE是等腰直角三角形，
则AD=

2

，BD=AD=

2

．
所以BE=

2

+1．
再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，
则EF=

1

2 +1

=

2

-1，BF=2．
所以

EF

BF

=

2 -1

2

．
方法2：连接OE，BC，OE与AC交于点M．
∵E为弧AC的中点，
易证OE⊥AC，
∵∠C=90°，∠AOE=45°，
∴OE∥BC，
设OM=1，则AM=1，
∴AC=BC=2，OA=

2

，
∴OE=

2

，
∴EM=

2

-1，
∵OE∥BC，
∴

EF

BF

=

EM

BC

=

2 -1

2

．
故选D．

点评：此题要能够根据弧之间的关系找到角之间的关系，熟练运用圆周角定理的推论，能够根据相似三角形的性质建立对应边之间的关系．