Question

27、小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙0中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙0的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．

Answer 1

分析：（1）连接AD，BD，易证△ADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE=BE．
（2）根据圆内接四边形的性质，先∠CDA=∠CDF，再证△AFD为等腰三角形，进一步证得PB=PF，从而证得结论．
（3）根据圆内接四边形的性质，证得∠BAC=∠ABC，因为△ACB为等腰三角形，所以PB=PF，进而求得AE=PE-PB．

解答：证明：（1）连接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA=∠CDB，
∴△ADB为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE=BE；

（2）延长DB、AP相交于点F，再连接AD，
∵ADBP是圆内接四边形，
∴∠PBF=∠PAD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA=∠CDF，
∵CD⊥PA，
∴△AFD为等腰三角形，
∴∠F=∠A，AE=EF，
∴∠PBF=∠F，
∴PB=PF，
∴AE=PE+PB

（3）AE=PE-PB．
连接AD，BD，AB，BD，DB、AP相交于点F，
∵弧AC=弧BC，
∴∠ADC=∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FED，
∵DE=DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD=DF，AE=EF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，
∴∠PFB=∠PBF，
∴PF=PB，
∴AE=PE-PB；

点评：此题主要考查了垂径定理及其推论，垂径定理-在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．