题目内容
邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．
探究：（1）两边分别是2和3的矩形是
（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．
（3）操作、计算：
①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；
②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．
探究：（1）两边分别是2和3的矩形是
2
2
阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．
（3）操作、计算：
①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；
②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．
分析：（1）通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论2阶矩形；
（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；
（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；
②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．
（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；
（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；
②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．
解答：解：（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，
∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．
∴共操作2次．
∴这个矩形是2阶矩形．
故答案为：2；
（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，
∴△AEB≌△FEB，
∴AE=FE，∠BFE=∠A．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∵AE=FE，
∴矩形ABFE为正方形；
（3）①由题意，得
如图1，
∴a的值=8，
∴a的值=5．
∴a的值为8或5；
②由题意，得
∵a=5b+m，b=4m，
∴a=21m，
如图
∴是8阶矩形．
∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．
∴共操作2次．
∴这个矩形是2阶矩形．
故答案为：2；
（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，
∴△AEB≌△FEB，
∴AE=FE，∠BFE=∠A．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∵AE=FE，
∴矩形ABFE为正方形；
（3）①由题意，得
如图1，
∴a的值=8，
∴a的值=5．
∴a的值为8或5；
②由题意，得
∵a=5b+m，b=4m，
∴a=21m，
如图
∴是8阶矩形．
点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．
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