题目内容

(2008•盐城)如图,直线y=x+b经过点B(-,2),且与x轴交于点A,将抛物线y=x2沿x轴作左右平移,记平移后的抛物线为C,其顶点为P.
(1)求∠BAO的度数;
(2)抛物线C与y轴交于点E,与直线AB交于两点,其中一个交点为F,当线段EF∥x轴时,求平移后的抛物线C对应的函数关系式;
(3)在抛物线y=x2平移过程中,将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否落在抛物线C上?如能,求出此时抛物线C顶点P的坐标;如不能,说明理由.

【答案】分析:(1)因为点B(-,2)在直线y=x+b上,所以把B点坐标代入解析式即可求出未知数的值,进而求出其解析式.根据直线解析式可求出A点的坐标及直线与y轴交点的坐标,根据锐角三角函数的定义即可求出∠BAO的度数.
(2)根据抛物线平移的性质可设出抛物线平移后的解析式,由抛物线上点的坐标特点求出E点坐标及对称轴直线,根据EF∥x轴可知E,F,两点关于对称轴直线对称,可求出F点的坐标,把此坐标代入(1)所求的直线解析式就可求出未知数的值,进而求出抛物线C的解析式.
(3)根据特殊角求出D点的坐标表达式,将表达式代入(2)所求解析式,看能否计算出P点坐标,若能,则D点在抛物线C上.反之,不在抛物线上.
解答:解:(1)设直线与y轴交于点N,
将x=-,y=2代入y=x+b得b=3,
∴y=x+3,
当x=0时,y=3,当y=0时x=-3
∴A(-3,0),N(0,3);
∴OA=3,ON=3,
∴tan∠BAO==
∴∠BAO=30°,

(2)设抛物线C的解析式为y=(x-t)2,则P(t,0),E(0,t2),
∵EF∥x轴且F在抛物线C上,根据抛物线的对称性可知F(2t,t2),
把x=2t,y=t2代入y=x+3
t+3=t2
解得t1=-,t2=3(1分)
∴抛物线C的解析式为y=(x+2或y=(x-32

(3)假设点D落在抛物线C上,
不妨设此时抛物线顶点P(m,0),则抛物线C:y=(x-m)2,AP=3+m,
连接DP,作DM⊥x轴,垂足为M.由已知,得△PAB≌△DAB,
又∵∠BAO=30°,
∴△PAD为等边三角形,
PM=AM=(3+m),
∴tan∠DAM==
∴DM=(9+m),
OM=PM-OP=(3+m)-t=(3-m),
∴M=[-(3-m),0],
∴D[-(3-m),(9+m)],
∵点D落在抛物线C上,
(9+m)=[-(3-m)-m2,即m2=27,m=±3
当m=-3时,此时点P(-3,0),点P与点A重合,不能构成三角形,不符合题意,舍去.
当m=3时P为(3,0)此时可以构成△DAB,
所以点P为(3,0),
∴当点D落在抛物线C上,顶点P为(3,0).
点评:此题将抛物线与直线相结合,涉及到动点问题,翻折变换问题,有一定的难度.
尤其(3)题是一道开放性问题,需要进行探索.要求同学们有一定的创新能力.
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