Question

已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
（1）不解方程，求a+

1

a

的值；
（2）根据（1）的结果，求

a

-

1

a

的值；
（3）说明方程ax²-x+1=0根的情况．

Answer 1

考点：一元二次方程的解,根的判别式

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=a代入已知方程并求得a²+1=4a，所以a+

1

a

=

a2+1

a

=

4a

a

=4；
（2）先利用公式法求得原方程的解，根据已知条件可知a值；然后求得（

a

-

1

a

）²=a+

1

a

-2=2，根据a的取值可以得到

a

-

1

a

=-

2

；
（3）通过计算△=b²-4ac=（-1）²-4a=1-4a，可得到△＜0，根据根的判别式即可得到原方程的根的情况．

解答：解：（1）∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a²-4a+1=0，
∴a²+1=4a，
∴a+

1

a

=

a2+1

a

=

4a

a

=4，即a+

1

a

的值是4；

（2）原方程的解是：x=

4±2 3

2

=2±

3

．
∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a=2-

3

＜1，
∴

a

＜

1

a

，则

a

-

1

a

＜0，
∴（

a

-

1

a

）²=a+

1

a

-2=4-2=2，则

a

-

1

a

=-

2

；

（3）由（2）知，a=2-

3

．
∵△=b²-4ac═（-1）²-4a=1-4a=4

3

-7＜0，
∴△＜0，
∴原方程没有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．