Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．
试解答下列问题：
（1）在图1中，若∠A+∠D=80°，则∠B+∠C=

80°

；仔细观察，在图2中“8字形”的个数：

6

个；
（2）在图2中，若∠DAO=50°，∠OCB=40°，∠P=35°，试求∠D的度数；
（3）在图2中，若设∠D=x°，∠B=y°，其它条件不变，试求∠P的度数．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理表示出∠AOD和∠BOC，然后根据对顶角相等列式整理即可得解，然后根据顶点找出“8字形”的个数；
（2）根据角平分线的定义表示出∠1、∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AMO，然后代入数据整理即可得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别表示出∠AMO和∠ONC，再根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，然后整理即可得解．

解答：解：（1）根据三角形的内角和定理，∠AOD=180°-（∠A+∠D）=180°-80°=100°，
∠BOC=180°-（∠B+∠C），
∵∠AOD=∠OC（对顶角相等），
∴∠B+∠C=180°-100°=80°，
如图2，以点O为顶点的“8字形”有△AOD和△BOC，△AOM和△CON，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，
以点M为顶点的“8字形”有△ADM和△COP，
以点N为顶点的“8字形”有△ANP和△BCN，
共有4+1+1=6个；

（2）∵AP、CP分别是∠DAO、∠BCO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠DAO=

1

2

×50°=25°，
∠2=

1

2

∠OCB=

1

2

×40°=20°，
又∵∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P，
∴∠D=∠3+∠P-∠1=20°+35°-25°=30°；

（3）由（2）得，∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①，
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②，
由①、②得，∠1-∠3=∠P-∠D，
∠2-∠4=∠B-∠P，
由已知得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1-∠3=∠2-∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，
∴∠P=

1

2

（∠B+∠D）=

1

2

（x°+y°）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，“8字形”的定义，熟记性质并理解题目信息是解题的关键．