题目内容

25、王老师正准备装修新买房屋的地面，到一家装修公司去看地砖，公司现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如下图）供用户选择．

（1）若王老师考虑只用其中一种正多边形铺满地面，则供他选择的正多边形有哪些？
（2）若王老师考虑想从其中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合有哪些？
（3）若王老师考虑从其中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合有哪些？
（4）你能说出其中所蕴含的数学道理吗？

分析：（1）看哪个正多边形的一个内角的度数是360°的约数，就能镶嵌平面；
（2）求得正多边形相应的一个内角的度数，分别选取各种2种图形的组合，找到同一顶点处的若干个内角度数相加为360°的组合即可；
（3）求得正多边形相应的一个内角的度数，分别选取各种3种图形的组合，找到同一顶点处的若干个内角度数相加为360°的组合即可；
（4）蕴含的数学道理为：能铺满地面的多边形在一个顶点处的角的和为360°．

解答：解：（1）正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面；
正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面；
正六边形的一个内角度数为180-360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面；
正八边形的一个内角度数为180-360÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面；
正十二边形的一个内角度数为180-360÷12=150°，不是360°的约数，不能镶嵌平面；
∴供他选择的正多边形有正三角形，正方形，正六边形；
（2）正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，3×60+2×90=360°，∴3个正三角形和2个正方形可进行密铺；
正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，正六边形的一个内角度数为180-360÷6=120°，2×60+2×120=360°或4×60+120=360°，可作平面镶嵌；
正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，正八边形的一个内角度数为180-360÷8=135°，任意若干个不能组成平面镶嵌；
正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，正十二边形的一个内角的度数为180-360÷12=150°，2×150+60=360°，可作平面镶嵌；
正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180-360÷6=120°，任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌；
正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，正八边形的一个内角度数为180-360÷8=135°，1×90+2×135=360°，可作平面镶嵌；
正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，正十二边形的一个内角的度数为180-360÷12=150°，任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌；
正六边形的一个内角度数为180-360÷6=120°，正十二边形的一个内角的度数为180-360÷12=150°，任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌；
正八边形的一个内角度数为180-360÷8=135°，正十二边形的一个内角的度数为180-360÷12=150°，任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌；
从其中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合有正三角形和正方形；正三角形和正六边形；正三角形和正十二边形；正方形和正八边形；
（3）正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180-360÷6=120°，正十二边形的一个内角的度数为180-360÷12=150°，那么一个正方形，一个正六边形，一个正十二边形可组成平面镶嵌；
正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，正十二边形的一个内角的度数为180-360÷12=150°，那么2个正三角形，一个正方形，1个正十二边形可组成平面镶嵌；
正三角形的一个内角度数为180-360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180-360÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180-360÷6=120°，那么1个正三角形，2个正方形，1个正六边形可组成平面镶嵌；
∴从其中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合有：正三角形，正方形，正十二边形，或正方形，正六边形，正十二边形或正三角形，正方形，正六边形．
（3）能铺满地面的多边形在一个顶点处的各角的和为360°．

点评：一种或多种正多边形组成平面镶嵌，一个顶点处的各个角的和，应等于360°．