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精英家教网如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,在MN上是否存在点D,使AB•CD=AC•BC(  )
A、不存在B、存在一点C、存在二点D、存在无数点
分析:存在两个点D,使AB•CD=AC•BC成立,要证明乘积的形式通常可以转化为比例的形式:①
AB
AC
=
BC
CD
,此时需证Rt△ABC∽Rt△ACD,那么过A作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;②
AB
BC
=
AC
CD
,此时需证Rt△ABC∽Rt△CBD,则过B作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.
解答:解:存在符合条件的点D,使AB•CD=AC•BC,
证明:①过A作AD⊥MN于D,则AB•CD=AC•BC
证明:∵MN是半圆的切线,且切点为C,
∴∠ACD=∠B,
∵AB为半圆的直径,又AD⊥MN,
∴∠ADC=∠ACB=90°精英家教网
∴△ABC∽△ACD,
AB
BC
=
AC
CD
,即AB•CD=AC•BC;
②过B作BD⊥MN于D,则AB•CD=AC•BC,
证明:∵MN是半圆的切线,且切点为C,
∴∠BCD=∠A,
∵AB为半圆的直径,又BD⊥MN,
∴∠BDC=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△CBD,
AB
AC
=
CB
CD
,即AB•CD=AC•BC,
因此MN上存在两个点D,使AB•CD=AC•BC.
故选C
点评:本题考查了圆周角定理,弦切角定理及相似三角形的判定和性质,其中弦切角定理为:圆的弦切角等于夹弧所对的圆周角.要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用,考查了分类讨论及数形结合的思想,培养了学生分析问题,解决问题的能力.
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