题目内容
【题目】(本题14分)如图①,已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
【答案】(1)(2)P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,)
(3)点E坐标为(-,)
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求函数解析式即可;(2)分CP=MP、CM=CP、CM=MP三种情况讨论,(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,--2a+3)(-3<a<0),然后用a表示出四边形BOCE面积,然后利用二次函数的性质确定最大值即可得到点E坐标.
试题解析:解︰(1)由题知︰,解得︰
∴所求抛物线解析式为︰
(2)存在符合条件的点P,
其坐标为P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,)
(3)解法①:
过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,--2a+3)(-3<a<0)
∴EF=--2a+3,BF=a+3,OF=-a
∴S四边形BOCE=BF·EF+(OC+EF)·OF
=(a+3)·(--2a+3)+(--2a+6)·(-a)
==-+
∴当a=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为.
此时,点E坐标为(-,)
解法②:
过点E作EF⊥x轴于点F,设E(x,y)(-3<x<0)
则S四边形BOCE=(3+y)·(-x)+(3+x)·y
=(y-x)=()=-+
∴当x=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为.此时,点E坐标为(-,)
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