题目内容
在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点P从点B出发沿BA向终点A运动,同时动点Q从点O出发沿OB向点B运动,到达点B后立刻以原来的速度沿BO返回.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度,当点P到达点A时停止运动,点Q也同时停止.连结PQ,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)求点P的坐标(用含t的代数式表示);
(2)当点Q从点O向点B运动时(未到达点B),是否存在实数t,使得△BPQ的面积大于17若存在,请求出t的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为直线l.是否存在t的值,使得直线l经过点O?若存在,请求出所有t的值;若不存在,请说明理由.
(1)P(,﹣x+3);
(2)不存在实数t,使得△BPQ的面积大于17;
(3),t=或时,O在l的垂直平分线上.
解析试题分析:(1)表示边长首要就是表示出来,根据函数性质及线段成比例等性质易表示出,PD,PC的长,即得坐标;
(2)讨论面积一般是计算底和高,然后表示出面积解析式,进而根据二次函数性质讨论最值或范围.而第一问求得OA=3,OB=4,易得S△AOB仅为6,而S△BQP≤S△AOB,所以定不存在实数t,使得面积大于17;
(3)垂直平分线上的点到两边距离相等,利用这个性质,我们只要表示出OP,和OQ即可.但讨论时注意Q点的运动时个往返的过程,要有两种情形.
试题解析:(1)如图,过点P作PC⊥OA于C,PD⊥OB于D.
∵y=﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B
∴A(4,0),B(0,3),
在Rt△BDP中,
∵OB=3,OA=4,
∴AB=5.
∵BP∥OA,
∴,
∵BP=t,
∴,
∴.
∵由点P过AB,
∴将x=代入y=﹣x+3,得y=﹣x+3,
∴P(,﹣x+3);
(2)不存在实数t,使得△BPQ的面积大于17.
∵Q、P在OB、OA上运动,
∴S△BQP≤S△AOB.
∵S△AOB=OA·OB==6,
∴S△BQP≤6<17,
∴不存在实数t,使得△BPQ的面积大于17;
(3)∵P(,﹣x+3),
∴OC=,PC=﹣x+3,
∴OP2=()2+(﹣x+3)2,
∵O在l的垂直平分线上,
∴OP=OQ.
①当0<t≤3时,OP=t,则t2=()2+(﹣t+3)2,解得 t=,符合要求.
②当3<t≤5时,
∵BQ=t﹣3,
∴OQ=3﹣(t﹣3)=6﹣t,
∴(6﹣t)2=()2+(﹣t+3)2
解得 t=,符合要求.
综上所述,t=或时,O在l的垂直平分线上.
考点:一次函数综合题.
温州享有“中国笔都”之称,其产品畅销全球,某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费如图所示.设安排x件产品运往A地.
(1)当n=200时,
①根据信息填表:
| A地 | B地 | C地 | 合计 |
产品件数(件) | x | | 2x | 200 |
运费(元) | 30x | | | |
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有哪几种运输方案?
(2)若总运费为5800元,求n的最小值.