Question

阅读材料关于x的方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0，b²-4ac≥0）
的两根为x₁=

-b+ b2-4ac

2a

x2=

-b- b2-4ac

2a

，则我们通过计算可得：x1+x2=

-b+ b2-4ac

2a

+

-b- b2-4ac

2a

=-

b

a

x1•x2=

-b+ b2-4ac

2a

•

-b- b2-4ac

2a

=

c

a

即：若x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．
解决问题：
（1）若x₁和x₂是方程2x²-3x-6=0的两个根，求x₁²x₂+x₁x₂²的值．
（2）若x₁和x₂是方程2x²+4x+m=0的两个根，求x₁²+x₂²的最小值．

Answer 1

分析：（1）把所求式子进行因式分解，再利用根与系数的关系求则可．
（2）把所求式子整理为两根之和与两根之积的形式，代入数值，再讨论式子的最小值．

解答：解：（1）由题可知x1+x2=-

-3

2

=

3

2

，x1•x2=

-6

2

=-3，
∴

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=x1x2(x1+x2)=

3

2

×(-3)=-

9

2

，

（2）由题可知x1+x2=-

4

2

=-2，x1•x2=

m

2

，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×

m

2

=4-m，
∵b²-4ac≥0即4²-4×2×m≥0，解得m≤2，
∴当m=2时，x₁²+x₂²的最小值为4-2=2．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，需注意运用根的判别式求出m的取值范围．