题目内容

下列说法：
①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形．
②如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个．
③如图3，△ABC是等边三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，则AD= $数学公式$ AB．
④如图4，△ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，则∠DBC= $数学公式$ ∠DAB其中，正确的有________（请写序号，错选少选均不得分）

③④
分析：不管过A（或过B或过C）作直线，都不能把三角形ABC分成两个等腰三角形，即可判断①；求出∠A=∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°，根据三角形的内角和定理求出三角形其余角的度数，根据等腰三角形的判定定理推出边相等，即可判断②；求出∠ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AD= $\text{[math]}$ AC，即可判断③；过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF，求出EF=BC，证三角形全等推出DE=EF，DC=CF，推出CD=BC，推出∠CDB=∠CBD，根据三角形的内角和定理求出∠CDB=∠CAB即可．
解答：

解：若△ABC中，AB=AC，∠A=45°，不论过A作直线（或过B作直线或过C作直线）都不能把三角形ABC化成两个等腰三角形，∴①错误；
图②中，有等腰三角形7个：△ABD，△CBD，△ACE，△CDE，△BEF，△CDF，△FBC，∴②错误；
∵等边△ABC，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∵AD∥BC，CD⊥AD，
∴∠DCB=∠D=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ AB，∴③正确；

过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AE=AB，AD=AC，
∴AF=AC=AD，
∴CE=BF，
即BE∥CF，CE=BF，
∴四边形BECF是等腰梯形，
∴EF=BC，
在△DAC和△FAC中
$\text{[math]}$ ，
∴△DAC≌△FAC，
∴CD=CF，
同理DE=EF，
∵AD=AC，AE=AB，
∴∠ADC=∠ACD，∠AEB=∠ABE，
∵∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠CAB+∠AEB+∠ABE=180°，
∴∠ACD=∠AEB，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠ACD=∠DEC，
∴DE=CD，
∴DC=CF=EF=ED，
∵EF=CB，
∴DC=BC，
∴∠CBD=∠CDE，
∵∠DCA=∠DEC=∠AEB=∠ABE，
由三角形的内角和定理得：∠CDE=∠CAB= $\text{[math]}$ ∠DAB，
∴∠DBC= $\text{[math]}$ ∠DAB，∴④正确．
故答案为：③④．
点评：本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判断，角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，第④小题证明过程偏难，对学生提出较高的要求，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．