Question

在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形
小题1:小明围出了一个面积为600㎝²的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？
小题2:小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积．

Answer 1

小题1:设她围成的矩形的一边长为，
得：………………（2分），  
，
当x=20时，㎝；当x=30时，，……………（4分）
所以小芳围成的矩形的两邻边分别是20㎝，30㎝  ……………… （5分）
小题2:设围成矩形的一边长为，面积为，则有：，即，   …… ………… （7分 ）
当时，y_最大值=625；此时，，矩形成为正方形。即用这根细绳围成一个边长为25㎝的正方形时，其面积最大，最大面积是625

分析：（1）已知细绳长是1米，则已知围成的矩形的周长是1米，设她围成的矩形的一边长为xcm，则相邻的边长是50-xcm．根据矩形的面积公式，即可列出方程，求解；
（2）设围成矩形的一边长为xcm，面积为ycm²，根据矩形面积公式就可以表示成边长x的函数，根据函数的性质即可求解．
解答：解：（1）设她围成的矩形的一边长为xcm，
得：x（50-x）=600（2分），
解得x₁=20，x₂=30，
当x=20时，50-x=30cm；
当x=30时，50-x=20cm，（4分）
所以小芳围成的矩形的两邻边分别是20cm，30cm（5分）
（2）设围成矩形的一边长为xcm，面积为ycm²，
则有：y=x（50-x），
即y=-x²+50x，y=-（x-25）²+625（8分）
当x=25时，y_最大值=625；
此时，50-x=25，矩形成为正方形．
即用这根细绳围成一个边长为25cm的正方形时，其面积最大，最大面积是625cm²（10分）
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．并且通过本题要理解，最值问题的解决方法一般是转化为函数问题．