题目内容
国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．
解：设第i个运动员为Ai，得分为ai（i=1，2，7，8），则a1＞a2＞…＞a7＞a8，由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得（7分），
即a1≤7，共赛
局，总积分为2（8分）
所以a1+a2+…+a7+a8=28①
因为每局得分为0，
，1三种，
所以
只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a4=4.5，a2=a5+a6+a7+a8②
若a3≥5.5，则a2≥6，a1≥6.5?a1+a2+a3≥6.5+6+5.5=18
由①，a4+a5+a6+a7+a8≤10，但a4=4.5，
所以a5+a6+a7+a8≤10-4.5=5.5这与a2≥6矛盾，
故a3＜5.5
但a3＞a4=4.5，
所以a3=5
这时a1+a2+a5+a6+a7+a8=28-5-4.5=18.5
也就是a1+2a2=18.5
若a2=5.5?a1=18.5-11=7.5＞7≥a1，这不可能
若a2≥6.5?a1=18.5-2a1≤18.5-13＞5.5＜a2，矛盾．
所以，只能a2=6
此时a1=18.5-2×6=6.5
所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5．
分析：由已知，现设一个运动员的得分讨论分析，进一步讨论推理论证8个运动员的得分范围，最后确定前三名的得分．
点评：此题考查的知识点是推理与论证．解题的关键是分情况讨论及推理论证．
即a1≤7，共赛
局，总积分为2（8分）所以a1+a2+…+a7+a8=28①
因为每局得分为0，
，1三种，所以
只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a4=4.5，a2=a5+a6+a7+a8②若a3≥5.5，则a2≥6，a1≥6.5?a1+a2+a3≥6.5+6+5.5=18
由①，a4+a5+a6+a7+a8≤10，但a4=4.5，
所以a5+a6+a7+a8≤10-4.5=5.5这与a2≥6矛盾，
故a3＜5.5
但a3＞a4=4.5，
所以a3=5
这时a1+a2+a5+a6+a7+a8=28-5-4.5=18.5
也就是a1+2a2=18.5
若a2=5.5?a1=18.5-11=7.5＞7≥a1，这不可能
若a2≥6.5?a1=18.5-2a1≤18.5-13＞5.5＜a2，矛盾．
所以，只能a2=6
此时a1=18.5-2×6=6.5
所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5．
分析：由已知，现设一个运动员的得分讨论分析，进一步讨论推理论证8个运动员的得分范围，最后确定前三名的得分．
点评：此题考查的知识点是推理与论证．解题的关键是分情况讨论及推理论证．
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