题目内容

如图11,在直角梯形ABCD中,已知ADBCAB=3,AD=1,BC=6,∠A=∠B=90°. 设动点PQR在梯形的边上,始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形,且△PQR的一边与梯形ABCD的两底平行.

(1) 当点PAB边上时,在图中画出一个符合条件的△PQR (不必说明画法);

(2) 当点PBC边或CD边上时,求BP的长.

 


(1) 如图.(注:答案不唯一,在图中画出符合条件的图形即可)········ 2分

(2) ① 当PCD边上时,

由题意,PRBC,设PR=x.

可证四边形PRBQ是正方形,∴ PR=PQ=BQ=x.

D点作DEAB,交BCE,易证四边形ABED是矩形.

AD=BE=1,AB=DE=3.··············· 3分

PQDE,∴△CPQ∽△CDE.

,·················· 4分

x=,即BP=. ·············· 5分

(注:此时,由于∠C≠45°,因此斜边RQ不可能平行于BC. 在答题中未考虑此问题者不扣分.)

② 当PBC边上,依题意可知PQBC.

QQFBC,易证△BRP≌△FQP,则PB=PF.····· 6分

易证四边形BFQR是矩形,

BP=x,则BP=BR=QF=PF=xBF=RQ=2x.········ 8分

QFDE,∴ △CQF∽△CDE,∴ .············· 8分

,∴ x=.······················ 10分

(注:此时,直角边不可能与两底平行. 在答题中未考虑此问题者不扣分.

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