题目内容
已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．
分析：（Ⅰ）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；
（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．
（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．
解答：解：（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．
设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB-OC=4-m．
∴AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，
即（4-m）2=m2+22，解得m=
．
∴点C的坐标为（0，
）；
（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，
∴△B′CD≌△BCD．
∵OB′=x，OC=y，
∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．
∴（4-y）2=y2+x2，
即y=-
x2+2．
由点B′在边OA上，有0≤x≤2，
∴解析式y=-
x2+2（0≤x≤2）为所求．
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围为
≤y≤2；
（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．
∴∠OCB″=∠CB″D．
又∵∠CBD=∠CB″D，
∴∠OCB″=∠CBD，
∵CB″∥BA．
∴Rt△COB″∽Rt△BOA．
∴
=
，
∴OC=2OB″．
在Rt△B″OC中，
设OB″=x0（x0＞0），则OC=2x0．
由（Ⅱ）的结论，得2x0=-
x02+2，
解得x0=-8±4
．
∵x0＞0，
∴x0=-8+4
．
∴点C的坐标为（0，8
-16）．
设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB-OC=4-m．
∴AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，
即（4-m）2=m2+22，解得m=
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| 2 |
∴点C的坐标为（0，
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，
∴△B′CD≌△BCD．
∵OB′=x，OC=y，
∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．
∴（4-y）2=y2+x2，
即y=-
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由点B′在边OA上，有0≤x≤2，
∴解析式y=-
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| 8 |
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围为
| 3 |
| 2 |
（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．
∴∠OCB″=∠CB″D．
又∵∠CBD=∠CB″D，
∴∠OCB″=∠CBD，
∵CB″∥BA．
∴Rt△COB″∽Rt△BOA．
∴
| OB″ |
| OA |
| OC |
| OB |
∴OC=2OB″．
在Rt△B″OC中，
设OB″=x0（x0＞0），则OC=2x0．
由（Ⅱ）的结论，得2x0=-
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解得x0=-8±4
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∵x0＞0，
∴x0=-8+4
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∴点C的坐标为（0，8
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点评：本题综合考查了运用轴对称、相似三角形的性质和勾股定理的知识进行计算的能力．折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题．
练习册系列答案
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