题目内容
【题目】某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元?
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少?
【答案】(1)y=-10x2+130x+2300;(2)每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元;(3)每件玩具的售价定为36元或37元时,每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.
【解析】试题分析:(1)由题意可得一件玩具的利润为(30+x-20)元,月销量为(230-10x),根据月利润=一件玩具的利润×月销量即可求出函数关系式;
(2)把y=2520代入(1)中求得的函数解析式即可求得;
(3)把(1)中的解析式化为顶点式,求得当x=6.5时函数有最大值,再根据x的取值范围以及x只能是正整数从而可得到x=6或x=7时y有最大值.
试题解析:(1)依题意得y=(30+x-20)(230-10x)=-10x2+130x+2300
自变量x的取值范围是:0<x≤10且x为正整数.
(2)当y=2520时,得-10x2+130x+2300=2520,解得x1=2,x2=11(不合题意,舍去).
当x=2时,30+x=32.∴每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元.
(3)y=-10x2+130x+2300=-10(x-6.5)2+2722.5
∵a=-10<0 ∴当x=6.5时,y有最大值为2722.5 .∵0<x≤10且x为正整数,∴当x=6时,30+x=36,y=2720, 当x=7时,30+x=37,y=2720.∴每件玩具的售价定为36元或37元时,每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.
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