Question

21、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）²[1+x]
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是

提取公因式

法，共应用了

3

次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，则需要应用上述方法

2011

次，分解因式后的结果是

（1+x）²⁰¹¹

．
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数），必须有简要的过程．

Answer 1

分析：（1）首先提取公因式（1+x），再次将[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），进而得出答案；
（2）根据（1）种方法即可得出分解因式后的结果；
（3）参照上式规律即可得出解题方法，求出即可．

解答：解：（1）根据已知可以直接得出答案：
提取公因式，3；

（2）2011，（1+x）²⁰¹¹；

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n-1）]，
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n-2）]，
=（1+x）ⁿ．

点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，做题的关键是：①正确找到公因式，②注意观察寻找规律．