题目内容

【题目】如图1在平面直角坐标系中AB的坐标分别为(10)(30)现同时将点AB分别向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度得到AB的对应点CD连接ACBDCD.

(1)写出点CD的坐标并求出四边形ABDC的面积;

(2)x轴上是否存在一点F使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2若存在请求出点F的坐标;若不存在请说明理由;

(3)如图2P是直线BD上的一个动点连接PCPO当点P在直线BD上运动时请直接写出OPCPCDPOB的数量关系.

【答案】(1)C(0,2),D(4,2).8;(2)F(1,0)或(5,0);(3)当点P在线段BD上运动时:∠OPC=∠PCD+∠POB;当点P在BD延长线上运动时:∠OPC=∠POB-∠PCD;当点P在DB延长线上运动时:∠OPC=∠PCD-∠POB.

【解析】试题分析:(1)根据点平移的规律易得点C的坐标为(0,2),点D的坐标为(4,2);四边形ABDC的面积=2×(3+1)=8;
(2)存在.设点PAB的距离为h,则S△PAB=×AB×h,根据S△PAB=S四边形ABDC,列方程求h的值,确定P点坐标.

(3)分类讨论:当点P在线段BD上,作PMAB,根据平行线的性质由MPAB得∠2=∠POB,由CDAB得到CDMF,则∠1=∠PCD,所以∠OPC=∠POB+∠PCD;同样得到当点P在线段DB的延长线上,∠OPC=∠PCD-∠POB;当点P在线段BD的延长线上,得到∠OPC=∠POB-∠PCD

试题解析:(1)依题意,得C(0,2),D(4,2),
S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8;
(2)在y轴上是否存在一点P,使S△PAB=S四边形ABDC.理由如下:
设点PAB的距离为h
S△PAB=×AB×h=2h
S△PAB=S四边形ABDC,得2h=8,
解得h=4,
P(0,4)或(0,-4).
(3)当点P在线段BD上,作PMAB,如图1,
MPAB
∴∠2=∠POB
CDAB

CDMP
∴∠1=∠PCD
∴∠OPC=∠1+∠2=∠POB+∠PCD;
当点P在线段DB的延长线上,作PNAB,如图2,
PNAB
∴∠NPO=∠POB
CDAB
CDPN
∴∠NPC=∠FCD
∴∠OPC=∠NPC-∠NPO=∠FCD-∠POB
同样得到当点P在线段BD的延长线上,得到∠OPC=∠POB-∠PCD

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