题目内容

初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架,使长方形框架面积最大.
小组讨论后,同学们做了以下三种试验:

请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6米,当AB为1米,长方形框架ABCD的面积是
4
3
4
3
m2
(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6米,设AB为x米,长方形框架ABCD的面积为S=
-x2+2x
-x2+2x
(用含x的代数式表示);当AB=
1
1
时米,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为l米,设AB为x米,当AB是多少米时,长方形框架ABCD的面积S最大.
分析:(1)求出AD的长度,即可得出长方形框架ABCD的面积.
(2)先用x表示出AD,继而得出S的表达式,利用配方法可求出S的最大值;同理图案(3)的最大面积也可求解.
解答:解:(1)当AB=1m时,AD=
4
3
m,S长方形框架ABCD=AB×AD=
4
3
m2

(2)图(2)中,设AB为x米,则AD=
6-3x
3
=2-x,
S长方形框架ABCD=AB×AD=-x2+2x=-(x-1)2+1,
当x=1时,S取得最大值;
即当AB=1米,长方形框架ABCD的面积S最大.
图(3)中,设AB为x米,则AD=
l-4x
3

S长方形框架ABCD=AB×AD=-
4
3
x2+
l
3
x=-
4
3
(x-
l
8
2+
1
12
l2
当x=
l
8
,长方形框架ABCD的面积S最大.
故答案为:
4
3
、-x2+2x、1.
点评:本题考查了二次函数的应用,解答本题的关键是表示出AD的长度,得出S关于x的表达式,注意掌握配方法求二次函数最值得应用,有一定难度.
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