题目内容

已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；
步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”号）；
（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT与MN交于点Q₁，Q₁点的坐标是（，）；
②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q₂，Q₂点的坐标是（，__）；
③当PA=12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q₃的坐标；
（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q₁，Q₂，Q₃，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式．③③

解：（1）PQ=QE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．
③画图，如图所示．

解：方法一：设MN与EP交于点F．
在Rt△APE中，∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵∠Q₃PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q₃PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q₃FP=90°，
∴△Q₃PF∽△PEA．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴Q₃P= $\text{[math]}$ =15．
∴Q₃（12，15）．
方法二：过点E作EG⊥Q₃P，垂足为G，则四边形APGE是矩形．
∴GP=6，EG=12．
设Q₃G=x，则Q₃E=Q₃P=x+6．
在Rt△Q₃EG中，∵EQ₃²=EG²+Q₃G²
∴x=9．
∴Q₃P=15．
∴Q₃（12，15）．

（3）这些点形成的图象是一段抛物线．
函数关系式：y= $\text{[math]}$ x²+3（0≤x≤26）．

分析：（1）根据折叠的特点可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）过点E作EG⊥Q₃P，垂足为G，则四边形APGE是矩形．设Q₃G=x，则Q₃E=Q₃P=x+6．利用Rt△Q₃EG中的勾股定理可知x=9，Q₃P=15．即Q₃（12，15）．
（3）根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式：y= $\text{[math]}$ x²+3（0≤x≤26）．
点评：本题是一道几何与函数综合题，是07年中考的压轴题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维．而试题的三个探究问题表现出对试题的求解要求层次分明，体现了“让不同的人学不同的数学”这一基本教学理念，第3小题的求解，是对前两小题的探究与方法的迁移运用，较好地考查了学生的阅读理解能力、代数计算能力、迁移运用能力和归纳表达能力．试题对提高学生的思维品质和实践能力均有建树，具有一定的区分度．若本题加上“验证其余各点的坐标是否满足所求抛物线方程”试题将更为丰满．