题目内容
如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为AC中点,E为AB边上一动点,F为BC边上一动点,且满足条件∠EPF=45°,记四边形PEBF的面积为S1;
(1)求证:∠APE=∠CFP;
(2)记△CPF的面积为S2,CF=x,y=.
①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求y的最大值.
②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.
(1)见解析;
(2)①则y关于x的函数解析式为:y=﹣+﹣1,(2≤x≤4),y的最大值为1;
②图见解析, y=2﹣2.
【解析】
试题分析:(1)分别证出∠APE+∠FPC=∠CFP+∠FPC=135°,即可得出∠APE=∠CFP;
(2)①先证出=,再根据AP=CP=2,得出AE==,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,求出S△APE=PH•AE=,S2=S△PCF=CF×PG=x,再根据S1=S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF求出S1=8﹣﹣x,再代入y=得出y=﹣8(﹣)2+1,最后根据2≤x≤4,得出时,y取得最大值,最后将x=2代入y=即可求出y最大=1.
②根据图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,得出阴影部分图形自身关于直线BD对称,AE=FC,从而得出=x,求出x=2,最后把代入y=﹣+﹣1即可.
试题解析:(1)∵∠EPF=45°,
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;
在等腰直角△ABC中,∠PCF=45°,
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,
∴∠APE=∠CFP.
(2)①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,
∴△APE∽△CFP,
则=.
在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,
又∵P为AC的中点,则AP=CP=2,
∴AE===.
如图1,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.
S△APE=PH•AE=×2×=,
S2=S△PCF=CF×PG=×x×2=x,
∴S1=S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF=×4×4﹣﹣x=8﹣﹣x,
∴y===﹣+﹣1=﹣8(﹣)2+1,
∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,
∴2≤x≤4.
即时,y取得最大值.
而x=2在x的取值范围内,将x=2代入y==﹣8(﹣)2+1,得y最大=1.
则y关于x的函数解析式为:y=﹣+﹣1,(2≤x≤4),y的最大值为1.
②如图2所示:
图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,
此时EB=BF,即AE=FC,
则=x,
解得x1=2,x2=﹣2(舍去),
将代入y=﹣+﹣1,得y=2﹣2.
考点:几何变换综合题.